sin15 (cos65cos50 + sin65sin50)

Для того чтобы решить выражение $\sin(15^\circ) \left( \cos(65^\circ)\cos(50^\circ) + \sin(65^\circ)\sin(50^\circ) \right)$, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Начнем с упрощения скобок внутри выражения. Мы видим, что это выражение напоминает формулу для косинуса суммы углов. Формула для $\cos(A + B)$ выглядит так:

   $$\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$$

   Однако в нашем случае мы видим знак плюса, то есть это формула для синуса суммы углов:

   $$\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$$

2. Сравнив, видим, что внутри скобок у нас выражение $\cos(65^\circ)\cos(50^\circ) + \sin(65^\circ)\sin(50^\circ)$ соответствует формуле для $\cos(65^\circ - 50^\circ)$, то есть:

   $$\cos(65^\circ)\cos(50^\circ) + \sin(65^\circ)\sin(50^\circ) = \cos(65^\circ - 50^\circ) = \cos(15^\circ)$$

3. Теперь мы можем подставить это упрощение в исходное выражение:

   $$\sin(15^\circ) \left( \cos(15^\circ) \right)$$

4. Таким образом, мы получили выражение $\sin(15^\circ) \cdot \cos(15^\circ)$, которое можно упростить, используя известную тригонометрическую формулу для удвоенного угла:

   $$\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$$

   В нашем случае $A = 15^\circ$, следовательно:

   $$\sin(30^\circ) = 2\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$$

   То есть:

   $$\sin(15^\circ) \cdot \cos(15^\circ) = \frac{1}{2} \sin(30^\circ)$$

5. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, следовательно:

   $$\sin(15^\circ) \cdot \cos(15^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Ответ: $\frac{1}{4}$.