Высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны между собой. Какая из следующих фигур не может лежать в основании пирамиды? Прямоугольник, правильный шестиугольник, квадрат, треугольник, ромб.

Если в пирамиде высоты всех боковых граней, проведённые из вершины, равны, то это означает следующее.

Рассмотрим вершину пирамиды $S$ и основание (многоугольник) в плоскости. Пусть $H$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания (то есть основание высоты пирамиды).

Для каждой стороны основания (ребра) $AB$ боковая грань — это треугольник $SAB$. “Высота боковой грани из вершины” — это расстояние от точки $S$ до прямой $AB$ (в плоскости грани).

Важно, что расстояние от $S$ до прямой $AB$ связано с расстоянием от проекции $H$ до этой прямой в плоскости основания:

• расстояние от $S$ до плоскости основания — одно и то же для всех граней (это высота пирамиды),

• поэтому равенство всех высот боковых граней эквивалентно равенству расстояний от точки $H$ до всех сторон основания.

То есть точка $H$ должна быть равноудалена от всех сторон многоугольника основания. А это возможно тогда и только тогда, когда в основание можно вписать окружность (окружность касается всех сторон). Такие многоугольники называют касательными (имеющими вписанную окружность).

Теперь проверим варианты:

• Треугольник — в любой треугольник можно вписать окружность ⇒ подходит.

• Квадрат — окружность вписывается всегда ⇒ подходит.

• Правильный шестиугольник — окружность вписывается ⇒ подходит.

• Ромб — в любой ромб можно вписать окружность (он является касательным четырёхугольником) ⇒ подходит.

• Прямоугольник — окружность можно вписать только если он является квадратом. В обычный прямоугольник (со сторонами $a\neq b$) вписать окружность нельзя ⇒ не подходит.

Следовательно, фигура, которая не может лежать в основании такой пирамиды (если понимать “прямоугольник” как не являющийся квадратом), — это прямоугольник.