Катер проехал по озеру 20 км, а затем 44 км по реке, берущей начало из этого озера, за 3 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Для того чтобы найти собственную скорость катера, давайте обозначим её через $v$ (км/ч).

1. Первый участок пути (озеро):
   Катер проехал 20 км по озеру, где скорость течения не влияет на его движение. То есть его скорость на этом участке равна $v$.

   Время, затраченное на этот участок, будет равно:

   $$t_1 = \frac{20}{v}$$

2. Второй участок пути (река):
   Затем катер проехал 44 км по реке, где течение помогает ему двигаться. Скорость катера относительно берега будет равна $v + 2$ км/ч, так как скорость течения реки составляет 2 км/ч.

   Время, затраченное на этот участок, будет равно:

   $$t_2 = \frac{44}{v + 2}$$

3. Общее время:
   Из условия задачи нам известно, что общее время на оба участка пути равно 3 часа. То есть:

   $$t_1 + t_2 = 3$$

   Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

   $$\frac{20}{v} + \frac{44}{v + 2} = 3$$

4. Решение уравнения:
   Умножим обе части уравнения на $v(v + 2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $$20(v + 2) + 44v = 3v(v + 2)$$

   Раскроем скобки:

   $$20v + 40 + 44v = 3v^2 + 6v$$

   Упростим:

   $$64v + 40 = 3v^2 + 6v$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$3v^2 - 58v - 40 = 0$$

   Это квадратное уравнение. Теперь решим его с помощью дискриминанта.

5. Нахождение дискриминанта:
   Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Подставим значения $a = 3$, $b = -58$, $c = -40$:

   $$D = (-58)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 3364 + 480 = 3844$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два корня.

6. Нахождение корней уравнения:
   Корни уравнения можно найти по формуле:

   $$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставим значения:

   $$v = \frac{-(-58) \pm \sqrt{3844}}{2 \cdot 3} = \frac{58 \pm 62}{6}$$

   Получаем два возможных значения:

   $$v_1 = \frac{58 + 62}{6} = \frac{120}{6} = 20$$ $$v_2 = \frac{58 - 62}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$

   Второй корень $v_2$ отрицателен, что невозможно для скорости, поэтому остаётся только $v_1 = 20$.

Ответ: собственная скорость катера равна 20 км/ч.