Найти множество значений функции: а) y = 2 cosx+1 б) y = 1/2 sinx-2

Для нахождения множества значений функции нужно рассмотреть диапазоны значений тригонометрических функций и учесть изменения, которые привнесены коэффициентами и сдвигами.

а) $y = 2 \cos(x) + 1$:

• Функция $\cos(x)$ принимает значения в интервале от -1 до 1, то есть $\cos(x) \in [-1, 1]$.

• Умножив $\cos(x)$ на 2, мы получаем интервал $2 \cos(x) \in [-2, 2]$, так как умножение на 2 растягивает диапазон.

• После этого прибавляем 1, что сдвигает весь диапазон на 1 единицу вверх, и получаем интервал для $y$:

  $$y = 2 \cos(x) + 1 \in [-2 + 1, 2 + 1] = [-1, 3].$$

  Таким образом, множество значений функции $y = 2 \cos(x) + 1$ — это интервал $[-1, 3]$.

б) $y = \frac{1}{2} \sin(x) - 2$:

• Функция $\sin(x)$ принимает значения в интервале от -1 до 1, то есть $\sin(x) \in [-1, 1]$.

• Умножив $\sin(x)$ на $\frac{1}{2}$, получаем новый интервал:

  $$\frac{1}{2} \sin(x) \in \left[ \frac{-1}{2}, \frac{1}{2} \right].$$

• После вычитания 2, весь диапазон сдвигается вниз на 2 единицы, и получаем интервал для $y$:

  $$y = \frac{1}{2} \sin(x) - 2 \in \left[ \frac{-1}{2} - 2, \frac{1}{2} - 2 \right] = [-2.5, -1.5].$$

  Таким образом, множество значений функции $y = \frac{1}{2} \sin(x) - 2$ — это интервал $[-2.5, -1.5]$.