1/2 lg(x² - 4x - 1) = lg(8x) - lg(4x)

Чтобы решить уравнение $\frac{1}{2} \lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(8x) - \lg(4x)$, начнем с упрощения и применения свойств логарифмов.

Шаг 1: Использование свойства логарифмов

На правой стороне у нас разность логарифмов: $\lg(8x) - \lg(4x)$. Это можно упростить с помощью свойства логарифмов:

Тогда:

Теперь уравнение выглядит так:

Шаг 2: Избавление от коэффициента $\frac{1}{2}$

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от множителя $\frac{1}{2}$:

Используем свойство логарифмов $\lg(a^b) = b \lg(a)$ для правой части уравнения:

Теперь у нас есть уравнение:

Шаг 3: Удаление логарифмов

Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, если их аргументы равны, получаем:

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Переносим все в одну сторону:

Упростим:

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

Для уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ коэффициенты $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$. Подставляем в формулу:

Получаем два корня:

Шаг 5: Проверка на допустимость

Необходимо проверить, какие из найденных значений удовлетворяют исходному уравнению. Логарифм не определен для отрицательных чисел и нуля, поэтому нужно убедиться, что аргументы логарифмов положительные.

1. Для $x = 5$:

   • $x^2 - 4x - 1 = 25 - 20 - 1 = 4$, что положительно.

   • $8x = 8 \times 5 = 40$, что положительно.

   • $4x = 4 \times 5 = 20$