Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Чтобы доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, рассмотрим следующее:

1. Определение биссектрисы:
   Биссектрисой угла треугольника называется отрезок, который делит угол на два равных угла и выходит из вершины этого угла.

2. Цель доказательства:
   Нужно доказать, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которую называют инцентр.

3. Используем свойства углов и пропорции:

Для доказательства воспользуемся теоремой о пропорциональности отрезков, образующихся на сторонах треугольника, при пересечении их биссектрисой.

Предположим, что треугольник $ABC$, и его биссектрисы $AD$, $BE$, и $CF$ (где $D$, $E$ и $F$ - точки на сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно). Каждая из этих биссектрис делит угол на две равные части.

4. Пропорциональность, вытекающая из теоремы о биссектрисе:

   Согласно теореме о биссектрисе, биссектрисы треугольника делят противоположные стороны в пропорции, равной соседним сторонам треугольника. То есть для биссектрисы угла $\angle A$:

   $$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$

   Аналогично для других углов:

   $$\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \quad \text{и} \quad \frac{AF}{FB} = \frac{AC}{BC}$$

5. Свойства инцентра:

Точка пересечения всех трех биссектрис называется инцентром, и она является центром вписанной окружности треугольника. Инцентр находится на равном расстоянии от всех сторон треугольника, потому что радиусы вписанной окружности перпендикулярны этим сторонам.

6. Заключение:

Поскольку все три биссектрисы делят углы треугольника и удовлетворяют пропорциональным соотношениям, они обязательно пересекаются в одной точке, которой и является инцентр. Это доказывает, что биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке.