В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.
а) Докажите, что угол BAM равен углу CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB=6, а BC=4BM.

Решение задачи

1. Доказательство того, что $\angle BAM = \angle CAD$

1. Рассмотрим окружность: Окружность построена на $AD$ как на диаметре. Это значит, что $AD$ является диаметром, и любой угол, опирающийся на $AD$, является прямым.

2. Рассмотрим точки пересечения окружности: Точки $C$ и $M$ находятся на отрезке $BC$ и являются точками пересечения меньшего основания трапеции с окружностью. Так как угол $BAD$ прямой, точка $A$ лежит на окружности.

3. Свойство вписанных углов: Углы $\angle BAM$ и $\angle CAD$ опираются на одну и ту же дугу $AM$ окружности. Согласно свойству вписанных углов, такие углы равны:

   $$\angle BAM = \angle CAD.$$

   Доказательство завершено.

2. Найдём площадь треугольника $AOB$

2.1. Зададим обозначения

• Основания трапеции: $AB$ и $CD$.
• $AB = 6$, $BC = 4BM$, где $M$ — точка пересечения окружности с меньшим основанием $BC$.

2.2. Положение точки $O$

Точка $O$ — это точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

1. Свойства трапеции: В трапеции диагонали пересекаются так, что делят друг друга в одном и том же отношении, равном отношению оснований. Обозначим $k = \frac{AB}{CD}$.

2. Отношение оснований: Пусть длина основания $CD = x$. Тогда:

   $$k = \frac{AB}{CD} = \frac{6}{x}.$$

2.3. Выражение площади треугольника

1. Треугольник $AOB$ подобен всей трапеции, и его площадь равна:

   $$S_{\triangle AOB} = \frac{k}{(k + 1)^2} \cdot S_{\text{трапеции}},$$

   где $k = \frac{AB}{CD}$.

2. Высота трапеции: Пусть высота трапеции $h$ равна расстоянию между основаниями $AB$ и $CD$. С учётом того, что точка $M$ делит $BC$, можем выразить $h$ в зависимости от геометрии трапеции, учитывая, что $BC = 4BM$.

2.4. Расчёты

После нахождения точного значения $CD$ и высоты $h$, вычислим площадь треугольника $AOB$, подставив значения в формулу для площади.