Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором биссектрисы углов A и B пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Необходимо доказать, что точка N является серединой отрезка CD.

Шаг 1: Обозначения и свойства параллелограмма

Параллелограмм имеет несколько важных свойств, которые нам пригодятся:

• Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

• Углы параллелограмма, расположенные напротив друг друга, равны.

Пусть в параллелограмме ABCD стороны AB и CD параллельны и равны между собой, так же как и стороны AD и BC. Также, углы A и B равны углам D и C соответственно.

Шаг 2: Применение свойств биссектрис

Биссектрисы углов A и B, пересекающиеся в точке N, делят углы пополам, соответственно угол ∠DAB делится на два угла по 1/2, а угол ∠ABC также делится на два угла.

Обозначим точку пересечения биссектрис как N. Поскольку точка N лежит на стороне CD, а биссектрисы углов A и B делят углы пополам, следовательно, они находятся в равных геометрических положениях относительно сторон параллелограмма.

Шаг 3: Анализ треугольников

Так как биссектрисы углов A и B делят углы пополам, и точка N лежит на стороне CD, можно рассмотреть два треугольника: △ADN и △BCN. Эти треугольники симметричны относительно средней линии параллелограмма, которая проходит через точку N. Параллельность и равенство сторон в этих треугольниках доказывает, что точка N делит отрезок CD пополам.

Шаг 4: Вывод

Так как точка N делит отрезок CD пополам, то N является серединой CD.