Биссектрисы углов А и в трапеции АВСД пересекаются в точке К, лежащей на стороне СД. Докажите, что точка К равноудалена от прямых АВ, ВС и АД.

Чтобы доказать, что точка $K$, образованная пересечением биссектрис углов $A$ и $B$ в трапеции $ABCD$, равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AD$, проведём строгое математическое рассуждение.

1. Определение и условия задачи:

• $ABCD$ — трапеция, $AB \parallel CD$, стороны $BC$ и $AD$ не параллельны.
• Биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $K$, которая лежит на стороне $CD$.
• Необходимо показать, что точка $K$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AD$.

2. Свойства биссектрис и равноудалённости:

Биссектриса любого угла разбивает угол пополам и является геометрическим местом точек, равноудалённых от его сторон. В нашем случае:

• Биссектриса угла $\angle A$ задаёт множество точек, равноудалённых от прямых $AB$ и $AD$.
• Биссектриса угла $\angle B$ задаёт множество точек, равноудалённых от прямых $AB$ и $BC$.

3. Характеристика точки $K$:

Точка $K$ лежит на обеих биссектрисах, следовательно:

1. $K$ равноудалена от прямых $AB$ и $AD$ (свойство биссектрисы угла $\angle A$).
2. $K$ равноудалена от прямых $AB$ и $BC$ (свойство биссектрисы угла $\angle B$).

Таким образом, $K$ равноудалена от всех трёх прямых $AB$, $AD$, и $BC$.

4. Анализ взаимного расположения биссектрис:

Для полного доказательства обратим внимание на расположение биссектрис:

• Точка $K$ лежит на стороне $CD$. Так как $AB \parallel CD$, прямые $AB$ и $CD$ одинаково "действуют" на точку $K$.
• Сумма углов $\angle A$ и $\angle B$ равна $180^\circ$ (сумма углов при основании трапеции). Следовательно, биссектрисы этих углов пересекаются под углом $90^\circ$, что гарантирует симметрию расположения точки $K$ относительно сторон трапеции.

5. Вывод:

Точка $K$, лежащая на стороне $CD$ и находящаяся на пересечении биссектрис углов $A$ и $B$, действительно равноудалена от прямых $AB$, $AD$ и $BC$. Это следует из свойств биссектрис и симметрии трапеции.