Треугольник ABC задан координатами его вершин A(3;-4;2), B(-3;2;-4), C(1;3;-1). Найдите длину медианы CM.

Для того чтобы найти длину медианы CM треугольника ABC, сначала определим координаты точки M, которая является серединой стороны AB. Медиана в треугольнике соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

1. Найдем координаты точки M (середины отрезка AB):

   Точка M делит отрезок AB пополам, поэтому её координаты можно найти по формуле среднего арифметического:

   $$M_x = \frac{A_x + B_x}{2}, \quad M_y = \frac{A_y + B_y}{2}, \quad M_z = \frac{A_z + B_z}{2}$$

   Подставляем координаты точек A(3; -4; 2) и B(-3; 2; -4):

   $$M_x = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ $$M_y = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$M_z = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

   Таким образом, координаты точки M: M(0; -1; -1).

2. Найдем длину медианы CM:

   Длина отрезка CM вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в 3D пространстве:

   $$d(C, M) = \sqrt{(C_x - M_x)^2 + (C_y - M_y)^2 + (C_z - M_z)^2}$$

   Подставляем координаты точек C(1; 3; -1) и M(0; -1; -1):

   $$d(C, M) = \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2}$$ $$d(C, M) = \sqrt{1^2 + 4^2 + 0^2}$$ $$d(C, M) = \sqrt{1 + 16 + 0} = \sqrt{17}$$

   Таким образом, длина медианы CM равна $\sqrt{17}$.

Ответ: длина медианы CM равна $\sqrt{17}$.