Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Рассмотрим ромб $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Нужно доказать, что расстояния от $O$ до всех четырёх сторон ромба равны.

Обозначим через

перпендикулярные расстояния от точки $O$ до соответствующих сторон.

Шаг 1. Свойства ромба и диагоналей

1. Ромб — это параллелограмм, значит диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому

2. В ромбе все стороны равны:

Шаг 2. Сравним расстояния от $O$ до соседних сторон через площади

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $BOC$.

Их площади можно выразить как «основание $\times$ высота / 2»:

• У треугольника $AOB$ возьмём основание $AB$. Тогда высота из $O$ к прямой $AB$ равна $d_{AB}$, и

• У треугольника $BOC$ возьмём основание $BC$. Высота из $O$ к прямой $BC$ равна $d_{BC}$, и

Теперь заметим, что треугольники $AOB$ и $BOC$ имеют общую высоту к диагонали $AC$ и равные основания на этой диагонали:

• точки $A,O,C$ лежат на одной прямой $AC$;

• отрезки $AO$ и $OC$ равны, потому что $O$ — середина диагонали $AC$.

Если взять в обоих треугольниках основание на прямой $AC$, то:

для одной и той же высоты $h$ из точки $B$ к прямой $AC$. Так как $AO=OC$, получаем

Подставим выражения через расстояния до сторон:

Сокращаем $\frac12$ и учитываем, что в ромбе $AB=BC$:

Итак, точка $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $BC$.

Шаг 3. Аналогично получаем равенства для остальных сторон

Точно так же сравним площади треугольников $BOC$ и $COD$. Они имеют равные основания $BO=OD$ на диагонали $BD$ и общую высоту из точки $C$ к прямой $BD$, значит их площади равны: