Известно, что lg 2 = a, lg 3 = b. Найдите: log₄(12)

Для того чтобы найти $\log_4(12)$, используем свойства логарифмов и данные, что $\lg 2 = a$ и $\lg 3 = b$.

1. Начнём с того, что представим 12 как произведение простых чисел:

Тогда логарифм 12 можно записать как:

2. Применяя свойства логарифмов, а именно, $\log_x(AB) = \log_x(A) + \log_x(B)$, получаем:

3. Теперь вычислим каждую из этих частей:

• Для $\log_4(2^2)$ используем свойство $\log_x(a^n) = n \cdot \log_x(a)$, что даёт:

Знаем, что $\log_4(2) = \frac{1}{2}$ (так как $4 = 2^2$), следовательно:

• Теперь найдём $\log_4(3)$. Используем преобразование логарифмов из одной базы в другую:

Так как $\log_2(4) = 2$, получаем:

Теперь, используя данное $\lg 3 = b$ (что есть $\log_{10}(3) = b$), выражаем $\log_2(3)$ через логарифм по основанию 10:

Таким образом:

4. Собираем всё вместе:

Ответ: $\log_4(12) = 1 + \frac{b}{2a}$.