log₄(6 + 5x) = log₄(3 + x) + 1

Давайте решим уравнение $\log_4(6 + 5x) = \log_4(3 + x) + 1$.

1. Преобразуем правую часть уравнения. Мы знаем, что $1 = \log_4(4)$. Поэтому можно переписать уравнение как:

   $$\log_4(6 + 5x) = \log_4(3 + x) + \log_4(4)$$

2. Используя свойство логарифмов $\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac)$, мы объединяем логарифмы справа:

   $$\log_4(6 + 5x) = \log_4((3 + x) \cdot 4)$$

3. Теперь, так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, если их аргументы равны, получаем:

   $$6 + 5x = (3 + x) \cdot 4$$

4. Раскроем скобки на правой части:

   $$6 + 5x = 12 + 4x$$

5. Переносим все переменные и числа на одну сторону:

   $$5x - 4x = 12 - 6$$ $$x = 6$$

Таким образом, решение уравнения — $x = 6$.

6. Для проверки подставим $x = 6$ в исходное уравнение:

   $$\log_4(6 + 5 \cdot 6) = \log_4(3 + 6) + 1$$ $$\log_4(6 + 30) = \log_4(9) + 1$$ $$\log_4(36) = \log_4(9) + 1$$ $$\log_4(36) = \log_4(9) + \log_4(4)$$ $$\log_4(36) = \log_4(36)$$

Проверка подтверждает, что $x = 6$ является правильным решением.