Найдите множество корней уравнения: \(27x^3 - 54x^2 + 36x - 8 = 0\).

Для нахождения корней уравнения $27x^3 - 54x^2 + 36x - 8 = 0$, сначала попробуем упростить его.

1. Преобразование уравнения:

   Обратим внимание на коэффициенты в уравнении. Все коэффициенты делятся на 1, и нет общего множителя для всех членов, но давайте попробуем выделить общий множитель для первых трех членов:

   $$27x^3 - 54x^2 + 36x - 8 = 0$$

2. Метод подбора корней:

   Попробуем подобрать корень методом подбора. Мы знаем, что возможные рациональные корни могут быть числами вида $\pm \frac{делители \, свободного \, члена}{делители \, старшего \, коэффициента}$.

   Свободный член у нас равен -8, а старший коэффициент — 27. Тогда возможные рациональные корни — это делители числа -8, деленные на делители числа 27, то есть: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm \frac{2}{9}, \pm \frac{4}{9}, \pm \frac{8}{9}, \pm \frac{1}{27}, \pm \frac{2}{27}, \pm \frac{4}{27}, \pm \frac{8}{27}$.

3. Пробуем подставить различные значения для $x$:

   Подставим значение $x = \frac{2}{3}$ и проверим, является ли оно корнем уравнения.

   Подставим в исходное уравнение:

   $$27 \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 54 \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 36 \left(\frac{2}{3}\right) - 8 = 0$$

   Вычислим поэтапно:

   $$27 \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 27 \times \frac{8}{27} = 8,$$ $$-54 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = -54 \times \frac{4}{9} = -24,$$ $$36 \left(\frac{2}{3}\right) = 24,$$ $$-8 = -8.$$

   Суммируем:

   $$8 - 24 + 24 - 8 = 0.$$

   Значит, $x = \frac{2}{3}$ является корнем уравнения.

4. Деление многочлена на $x - \frac{2}{3}$:

   Теперь можем разделить исходный многочлен на $x - \frac{2}{3}$ с помощью деления многочлена на многочлен. Для удобства умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:

   $$3 \cdot (27x^3 - 54x^2 + 36x - 8) = 81x^3 - 162x^2 + 108x - 24.$$

   Теперь делим $81x^3 - 162x^2 + 108x - 24$ на $3x - 2$.

   Деление даст результат:

   $$81x^3 - 162x^2 + 108x - 24 = (3x - 2)(27x^2 - 54x + 12).$$

5. Решаем квадратное уравнение:

   Остался многочлен второй степени:

   $$27x^2 - 54x + 12 = 0.$$

   Разделим его на 3 для упрощения: