Решить дифференциальное уравнение второго порядка: y''=(y'/x)+(x^2/y')

Давайте разберёмся с дифференциальным уравнением:

где $y = y(x)$, $y' = \frac{dy}{dx}$, $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$.

Шаг 1. Замена переменной

Обозначим $p = y' = \frac{dy}{dx}$. Тогда $y'' = p'$ и $p' = \frac{dp}{dx}$. Подставим в уравнение:

Шаг 2. Преобразуем уравнение

Умножим обе части на $p$ для удобства:

Заметим, что $p p' = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(p^2)$, так как $\frac{d}{dx}(p^2) = 2 p p'$. Получаем:

Умножим обе части на 2:

Шаг 3. Замена $u = p^2$

Пусть $u = p^2$. Тогда $\frac{du}{dx} = 2 p p'$ и уравнение примет вид:

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно $u(x)$.

Шаг 4. Решение линейного уравнения

Уравнение имеет вид:

Это линейное уравнение. Найдём интегрирующий множитель:

Умножаем уравнение на $x^{-2}$:

Левая часть — производная $\frac{d}{dx} (x^{-2} u)$, поэтому: