Парабола y=ax²+bx+c имеет вершину в точке C(4;-10) и проходит через точку D(1;-1). Найдите значения коэффициентов a, b и c.

Для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ у параболы с уравнением $y = ax^2 + bx + c$, имеющей вершину в точке $C(4, -10)$ и проходящей через точку $D(1, -1)$, воспользуемся несколькими шагами.

Шаг 1: Используем формулу вершины параболы

Для параболы в виде $y = ax^2 + bx + c$, координаты вершины можно выразить через коэффициенты следующим образом:

где $x_{\text{в}}$ — это абсцисса вершины. Так как вершина параболы находится в точке $C(4, -10)$, мы знаем, что $x_{\text{в}} = 4$. Подставляем это значение в формулу:

Это даёт нам первое уравнение:

Шаг 2: Используем координаты вершины

Также, так как точка $C(4, -10)$ является вершиной параболы, она удовлетворяет уравнению $y = ax^2 + bx + c$. Подставляем $x = 4$ и $y = -10$ в уравнение параболы:

Теперь подставим $b = -8a$ в это уравнение:

Шаг 3: Используем точку $D(1, -1)$

Теперь воспользуемся тем, что парабола проходит через точку $D(1, -1)$. Подставляем $x = 1$ и $y = -1$ в уравнение $y = ax^2 + bx + c$:

Заменим $b$ и $c$ на выражения через $a$ из предыдущих шагов. Подставляем $b = -8a$ и $c = 16a - 10$:

Шаг 4: Нахождение $b$ и $c$

Теперь, зная, что $a = 1$, подставим это значение в уравнения для $b$ и $c$.

Ответ:

Коэффициенты параболы: