Рассмотрим числовой набор, упорядочим его по возрастанию и вспомним, что медиана — это “серединное” значение:

• при нечётном количестве элементов это ровно центральный элемент;

• при чётном количестве — среднее арифметическое двух центральных элементов.

а) Все числа набора разделить на 5

Если каждый элемент набора разделить на 5, то порядок чисел не меняется (каждое число просто уменьшается в 5 раз). Центральный(ые) элемент(ы) тоже уменьшатся в 5 раз.

Итог: медиана разделится на 5 (уменьшится в 5 раз).

б) Наибольшее число набора увеличить в 10 раз

Меняется только одно число — самое большое. При этом его положение в упорядоченном наборе остаётся последним (оно и было самым большим, и после увеличения остаётся самым большим). Значит, все центральные элементы (которые определяют медиану) обычно не меняются.

Итог: медиана не изменится, если наибольшее число не участвует в вычислении медианы.

Когда оно может участвовать?

• Если в наборе 1 элемент, то медиана — это он же, и тогда медиана увеличится в 10 раз.

• Если в наборе 2 элемента, медиана — среднее двух чисел, одно из них наибольшее, значит медиана изменится.

• Если в наборе чётное число элементов и медиана считается как среднее двух центральных, то наибольшее число никогда не является центральным (оно крайнее), поэтому медиана не меняется.

• Если элементов нечётное количество ≥ 3, медиана — центральный элемент, и наибольшее число тоже не центральное, медиана не меняется.

То есть для “обычного” набора из 3 и более чисел медиана не изменится.

в) Убрать из набора наибольшее и наименьшее число

Удаляем два крайних элемента (минимум и максимум). Это может по-разному повлиять на “середину”, потому что:

• уменьшается количество элементов на 2;

• центральные позиции могут сдвинуться.

Общее правило такое:

• Если удалённые числа не были медианой (и не входили в пару центральных), то медиана может остаться прежней, но не обязана.

• Если удаление меняет то, какие элементы становятся центральными, то медиана изменится.

Чтобы понимать точнее, удобно рассмотреть случаи по количеству элементов:

Если элементов нечётное число $n = 2k+1$ (и $n \ge 3$)

Медиана — это элемент с номером $k+1$.
После удаления минимума и максимума останется $2k-1$ элементов (тоже нечётное), и новая медиана станет элементом с номером $k$ в новом наборе. Это соответствует элементу с номером $k+1$ в старом наборе — то есть тому же самому значению.

Итог при нечётном $n \ge 3$: медиана не изменится.

Пример: 1, 3, 7, 10, 100 → медиана 7. Убираем 1 и 100 → 3, 7, 10 → медиана 7.

Если элементов чётное число $n = 2k$ (и $n \ge 4$)

Медиана — среднее элементов с номерами $k$ и $k+1$.
После удаления крайних останется $2k-2$ элементов (снова чётное), и новая медиана будет средним элементов с номерами $k-1$ и $k$ нового набора, то есть в старом наборе это элементы с номерами $k$ и $k+1$? Нет: из-за удаления минимума индексы сдвигаются, и центральная пара меняется.

В результате новая медиана обычно становится средним другой пары элементов, поэтому значение медианы вообще говоря изменится (может увеличиться, уменьшиться или случайно совпасть).

Пример: 1, 2, 100, 101 → медиана (2+100)/2 = 51. Убираем 1 и 101 → 2, 100 → медиана (2+100)/2 = 51 (совпало).
Но: 1, 2, 3, 100 → медиана (2+3)/2 = 2,5. Убираем 1 и 100 → 2, 3 → медиана 2,5 (совпало).
А вот: 1, 2, 50, 51, 52, 100 → медиана (50+51)/2 = 50,5. Убираем 1 и 100 → 2, 50, 51, 52 → медиана (50+51)/2 = 50,5 (тоже совпало), но в других наборах может не совпасть — гарантий нет.

Итог при чётном $n \ge 4$: медиана может измениться, общего “всегда одинаково” нет.

Краткие выводы

а) медиана делится на 5.
б) медиана обычно не меняется (для наборов из 3 и более элементов); меняется только в малых наборах, где максимум входит в медиану (1–2 элемента).
в) при нечётном количестве элементов (и хотя бы 3) медиана не меняется; при чётном количестве (и хотя бы 4) медиана в общем случае может измениться.