Площадь фигуры с вырезом

Площадь фигуры с вырезом (то есть когда из большой фигуры “вырезали” кусок) почти всегда находится по одному и тому же принципу:

Площадь итоговой фигуры = площадь “целой” (внешней) фигуры − площадь выреза.

Дальше всё зависит от того, как именно задана фигура и какие размеры известны.

1) Базовый способ: «внешняя минус внутренняя»

1. Определи внешнюю границу: какая большая фигура получается “до выреза” (прямоугольник, круг, треугольник, трапеция и т. п.).

2. Найди её площадь по формуле.

3. Определи вырез: какая фигура вырезана (или на какие простые фигуры можно её разбить).

4. Найди площадь выреза.

5. Вычти.

Пример (классический)

Из прямоугольника $10 \times 6$ вырезали прямоугольник $4 \times 2$.

• Площадь большого: $S_1 = 10 \cdot 6 = 60$

• Площадь выреза: $S_2 = 4 \cdot 2 = 8$

• Итог: $S = 60 - 8 = 52$

2) Если вырезов несколько

Тогда вычитаешь сумму площадей всех вырезов:

3) Если вырез “сложный” — разбивай на простые части

Очень часто вырез не выглядит как одна простая фигура. Тогда делают так:

• разбивают вырез на прямоугольники/треугольники/сектора и складывают их площади;

• или наоборот — разбивают внешнюю фигуру на части и потом вычитают.

Главное: чтобы площади считались стандартными формулами.

4) Полезные формулы площадей (чтобы быстро считать)

• Прямоугольник: $S = ab$

• Квадрат: $S = a^2$

• Треугольник: $S = \dfrac{1}{2}ah$

• Параллелограмм: $S = ah$

• Трапеция: $S = \dfrac{(a+b)}{2}\cdot h$

• Круг: $S = \pi r^2$

• Сектор круга: $S = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2$ (если угол в градусах)

• Полукруг: $S = \dfrac{1}{2}\pi r^2$

5) Важные тонкости (частые ошибки)

1. Вырез должен быть внутри внешней фигуры. Если “вырез” касается края и фактически меняет внешнюю границу — всё равно подход тот же, но важно правильно определить внешнюю фигуру “до выреза”.

2. Если фигура задана на клетчатой бумаге — иногда проще:

   • посчитать целые клетки,

   • половинки клеток сложить в целые,

   • и отдельно учесть вырез.

3. Единицы измерения: если размеры в сантиметрах, площадь будет в $\text{см}^2$. Если в метрах — в $\text{м}^2$.

6) Универсальный итог

Чтобы найти площадь фигуры с вырезом, нужно:

• выбрать “самую большую” понятную фигуру, которая её включает;

• посчитать её площадь;

• посчитать площадь(и) выреза;

• вычесть.

Если фигура выглядит сложной — разбей на несколько простых фигур и работай с суммой/разностью их площадей.