Вопрос задан 27.03.2026 в 21:40. Предмет Математика. Спрашивает Гуцуляк Саша.

(3-4cos2a+cos4a)/(3+4cos2a+cos4a)=tg^4a подробно

0 0 Пожаловаться
Перейти к ответам
Отвечу на вопрос мгновенно! Нейросеть ChatGPT. Жми!

Ответы на вопрос

Отвечает Учанева Елизавета.

Докажем тождество

3−4cos⁡2a+cos⁡4a3+4cos⁡2a+cos⁡4a=tg⁡4a.\frac{3-4\cos 2a+\cos 4a}{3+4\cos 2a+\cos 4a}=\tg^4 a.

Нужно преобразовать левую часть и получить правую.

Шаг 1. Раскроем cos⁡4a\cos 4a через cos⁡2a\cos 2a

Используем формулу:

cos⁡4a=2cos⁡22a−1.\cos 4a=2\cos^2 2a-1.

Подставим в числитель и знаменатель.

Числитель:

3−4cos⁡2a+cos⁡4a=3−4cos⁡2a+(2cos⁡22a−1)3-4\cos 2a+\cos 4a =3-4\cos 2a+(2\cos^2 2a-1) =2−4cos⁡2a+2cos⁡22a=2(cos⁡22a−2cos⁡2a+1)=2-4\cos 2a+2\cos^2 2a =2(\cos^2 2a-2\cos 2a+1) =2(cos⁡2a−1)2.=2(\cos 2a-1)^2.

Знаменатель:

3+4cos⁡2a+cos⁡4a=3+4cos⁡2a+(2cos⁡22a−1)3+4\cos 2a+\cos 4a =3+4\cos 2a+(2\cos^2 2a-1) =2+4cos⁡2a+2cos⁡22a=2(cos⁡22a+2cos⁡2a+1)=2+4\cos 2a+2\cos^2 2a =2(\cos^2 2a+2\cos 2a+1) =2(cos⁡2a+1)2.=2(\cos 2a+1)^2.

Тогда левая часть становится:

2(cos⁡2a−1)22(cos⁡2a+1)2=(cos⁡2a−1cos⁡2a+1)2.\frac{2(\cos 2a-1)^2}{2(\cos 2a+1)^2} = \left(\frac{\cos 2a-1}{\cos 2a+1}\right)^2.

Шаг 2. Применим формулы для cos⁡2a\cos 2a

Из известных формул:

1−cos⁡2a=2sin⁡2a,1+cos⁡2a=2cos⁡2a.1-\cos 2a=2\sin^2 a, \qquad 1+\cos 2a=2\cos^2 a.

Тогда

cos⁡2a−1=−(1−cos⁡2a)=−2sin⁡2a.\cos 2a-1=-(1-\cos 2a)=-2\sin^2 a.

Подставим:

(cos⁡2a−1cos⁡2a+1)2=(−2sin⁡2a2cos⁡2a)2.\left(\frac{\cos 2a-1}{\cos 2a+1}\right)^2 = \left(\frac{-2\sin^2 a}{2\cos^2 a}\right)^2.

Сокращаем на 2:

=(−sin⁡2acos⁡2a)2=(−tg⁡2a)2=tg⁡4a.= \left(-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right)^2 = \left(-\tg^2 a\right)^2 = \tg^4 a.

Итог

Получили:

3−4cos⁡2a+cos⁡4a3+4cos⁡2a+cos⁡4a=tg⁡4a.\frac{3-4\cos 2a+\cos 4a}{3+4\cos 2a+\cos 4a}=\tg^4 a.

Тождество доказано.

Более коротко

cos⁡4a=2cos⁡22a−1\cos 4a=2\cos^2 2a-1 3−4cos⁡2a+cos⁡4a=2(cos⁡2a−1)2,3+4cos⁡2a+cos⁡4a=2(cos⁡2a+1)2.3-4\cos 2a+\cos 4a=2(\cos 2a-1)^2, \qquad 3+4\cos 2a+\cos 4a=2(\cos 2a+1)^2.

Значит,

3−4cos⁡2a+cos⁡4a3+4cos⁡2a+cos⁡4a=(cos⁡2a−1cos⁡2a+1)2.\frac{3-4\cos 2a+\cos 4a}{3+4\cos 2a+\cos 4a} = \left(\frac{\cos 2a-1}{\cos 2a+1}\right)^2.

0 0 Пожаловаться
Спроси у Chat GPT бесплатно без регистрации!

Похожие вопросы

Математика 12.12.2025 17:30 13 Петренко Настенька
Математика 29.12.2025 06:55 16 Матвеева Алина
Математика 10.10.2025 12:09 21 Валеева Анна
Математика 24.11.2025 21:27 21 Климентьева Полина
Математика 17.02.2026 11:51 22 Чувычкина Диана
Математика 23.02.2026 19:34 18 Погасий Артем
Математика 06.08.2025 23:52 13 Миронов Никита
Математика 24.12.2023 21:12 2522 Богатырёва Анастасия
Математика 28.12.2023 04:16 881 Муллахметов Марсель
Математика 10.01.2024 15:44 584 Карпов Владислав

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Математика 09.01.2024 07:30 1205 Ким Александр
Математика 03.02.2025 16:47 424 Дарбинян Роберт
Математика 22.01.2025 16:49 1029 Панкратова Полина
Математика 12.04.2025 17:57 1603 Достоевский Алексей
Математика 09.03.2025 21:20 270 Кузнецова Мария
Математика 12.07.2025 09:47 112 Быков Дима
Математика 05.01.2024 00:06 604 Ануфриева Мария
Математика 25.12.2023 07:54 1348 Меганомский Андрей
Математика 24.01.2025 13:42 688 Базарымбекова Айсауле
Математика 21.12.2024 21:48 1489 Куренкова Алёна

Последние заданные вопросы в категории Математика

Математика 12.01.2026 18:57 50 Евдокимов Данила
Математика 13.12.2025 12:03 26 Быков Виктор
Математика 11.12.2025 06:07 47 Исаков Сергей
Математика 11.12.2025 06:00 81 Завадский Иван
Математика 10.12.2025 19:09 41 Бажанов Дмитрий
Математика 10.12.2025 15:55 9 Янкевич Даниил
Математика 10.12.2025 14:50 7 Нейман Полина
Математика 10.12.2025 13:53 24 Титова Ника
Математика 10.12.2025 12:53 2 Черкасов Сергей
Математика 10.12.2025 11:47 25 Васильева Александра
< Предыдущий Следующий >
Предметы
Задать вопрос
Задать вопрос