Упростите и найдите значение выражения cos⁴a + sin²a * cos²a при tg a = 2.

Решим по шагам.

Дано:

Надо упростить и найти значение выражения:

1. Упростим выражение

Рассмотрим исходное выражение:

Вынесем $\cos^2 a$ за скобку:

Из основного тригонометрического тождества:

Тогда:

То есть выражение упрощается просто до:

Теперь остаётся найти $\cos^2 a$, зная, что $\tg a = 2$.

2. Находим $\cos^2 a$ из условия $\tg a = 2$

По определению:

Возведём в квадрат:

Отсюда:

Используем снова тождество:

Подставляем $\sin^2 a = 4 \cos^2 a$:

3. Ответ

Мы выяснили, что исходное выражение равно $\cos^2 a$, а $\cos^2 a = \dfrac{1}{5}$.

Следовательно:

Ответ: $\dfrac{1}{5}$.