Разложить на множители: 1) sina+sin2a+sin3a+sin4a 2)cos2a-cos4a-cos6a+cos8a

Ответы на вопрос

Отвечает Бойко Ксения.

Для того чтобы упростить данное выражение, можно применить формулы суммы синусов. Сначала объединим элементы попарно:

\sin a + \sin 4a \quad \text{и} \quad \sin 2a + \sin 3a

Для каждого из этих выражений используем формулу для суммы синусов:

\sin x + \sin y = 2 \sin \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right)

Для первого выражения:

\sin a + \sin 4a = 2 \sin \left(\frac{a + 4a}{2}\right) \cos \left(\frac{4a - a}{2}\right) = 2 \sin \left(\frac{5a}{2}\right) \cos \left(\frac{3a}{2}\right)

Для второго выражения:

\sin 2a + \sin 3a = 2 \sin \left(\frac{2a + 3a}{2}\right) \cos \left(\frac{3a - 2a}{2}\right) = 2 \sin \left(\frac{5a}{2}\right) \cos \left(\frac{a}{2}\right)

Теперь объединим оба результата:

\sin a + \sin 2a + \sin 3a + \sin 4a = 2 \sin \left(\frac{5a}{2}\right) \left[ \cos \left(\frac{3a}{2}\right) + \cos \left(\frac{a}{2}\right) \right]

Теперь для выражения $\cos \left(\frac{3a}{2}\right) + \cos \left(\frac{a}{2}\right)$ используем формулу суммы косинусов:

\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right)

Применим её:

\cos \left(\frac{3a}{2}\right) + \cos \left(\frac{a}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{\frac{3a}{2} + \frac{a}{2}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{3a}{2} - \frac{a}{2}}{2}\right) = 2 \cos \left(a\right) \cos \left(a\right)

Теперь получаем окончательное разложение:

\sin a + \sin 2a + \sin 3a + \sin 4a = 4 \sin \left(\frac{5a}{2}\right) \cos^2 \left(a\right)

Для упрощения также объединим элементы попарно:

\cos 2a - \cos 8a \quad \text{и} \quad - \cos 4a + \cos 6a

Используем формулу для разности косинусов:

\cos x - \cos y = -2 \sin \left(\frac{x + y}{2}\right) \sin \left(\frac{x - y}{2}\right)

Похожие вопросы

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос