Упростить: Sina-Sin3a/Cosa-Cos3a(1-Cos4a)

Давайте упростим выражение $\frac{\sin a - \sin 3a}{\cos a - \cos 3a (1 - \cos 4a)}$.

Шаг 1: Используем формулы для синуса и косинуса многократных углов.

Часть 1: Упрощаем числитель $\sin a - \sin 3a$

Используем формулу разности синусов:

Подставляем $A = a$ и $B = 3a$:

Поскольку $\sin(-a) = -\sin a$, получаем:

Часть 2: Упрощаем знаменатель $\cos a - \cos 3a (1 - \cos 4a)$

Рассмотрим сначала выражение $\cos a - \cos 3a$. Используем формулу разности косинусов:

Подставляем $A = a$ и $B = 3a$:

Так как $\sin(-a) = -\sin a$, получаем:

Теперь перейдем к произведению $\cos 3a \cdot (1 - \cos 4a)$.

Используем формулу для косинуса удвоенного угла $\cos 4a = 1 - 2 \sin^2 2a$, и подставляем:

Тогда произведение:

Теперь подставим все это в знаменатель:

Шаг 2: Подставляем результаты в исходное выражение.

Теперь у нас есть:

Мы видим, что общие множители 2 и $\sin a$ можно сократить:

Это и есть упрощённое выражение.