Как разрезать квадрат на четыре одинаковые части тремя сквозными прямолинейными разрезами, среди которых нет параллельных и перпендикулярных прямых?

Можно сделать так: все три разреза провести через один и тот же угол квадрата, но под разными наклонами, так, чтобы они делили квадрат на четыре равных по форме и размеру треугольника.

Идея в том, чтобы взять угол квадрата за общий центр «веера» из трёх прямых. Эти три прямые должны выйти из этого угла и пересечь противоположную сторону и соседнюю сторону в специально выбранных точках. Тогда квадрат распадётся на четыре треугольные области.

Почему это работает:

1. Если три прямые выходят из одной вершины квадрата, то автоматически среди них нет параллельных.

2. Можно выбрать их так, чтобы ни одна пара не образовывала прямой угол.

3. Чтобы все четыре части были одинаковыми, надо добиться, чтобы получившиеся четыре треугольника были равны. Это достигается, если лучи из вершины делят «видимый» из этой вершины контур квадрата на четыре равных отрезка по направлению.

Проще всего описать построение так:

• Возьмите квадрат $ABCD$.

• Из вершины $A$ проведите три прямые внутрь квадрата.

• Эти прямые должны пересечь стороны $BC$ и $CD$ так, чтобы квадрат оказался разбит на четыре треугольника:

  $$\triangle AP_1P_2,\quad \triangle AP_2P_3,\quad \triangle AP_3P_4,\quad \triangle AP_4B$$

  одинаковых по сторонам и углам.

На практике это означает, что точки пересечения надо выбрать не «на глаз», а так, чтобы каждый следующий треугольник был получен из предыдущего поворотом на $90^\circ$. Тогда все части будут равны, хотя сами разрезы не будут ни параллельны, ни перпендикулярны друг другу.

То есть ответ по существу такой:

Нужно провести три сквозные прямые из одной вершины квадрата внутрь так, чтобы они разбили квадрат на четыре равных треугольника; при таком выборе прямые можно расположить без параллельности и без взаимной перпендикулярности.

Если сформулировать совсем кратко:
разрезы должны идти веером из одного угла квадрата, а не через центр и не по диагоналям.