Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 41 до 64 включительно?

Чтобы определить, сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 41 до 64 включительно, нужно понять, сколько раз число 10 является делителем этого произведения. Поскольку $10 = 2 \times 5$, каждый ноль в конце произведения получается за счёт одной пары множителей 2 и 5.

Основная задача — подсчитать количество таких пар. Обычно факторов 2 в произведении встречается больше, чем факторов 5, поэтому мы сосредоточимся на подсчёте множителей 5, так как именно их количество ограничивает число нулей.

Шаг 1: Определение факторов 5

Для того чтобы узнать, сколько факторов 5 содержится в произведении чисел от 41 до 64, нужно посчитать, сколько чисел в этом диапазоне делятся на 5, на 25 и так далее (по степеням 5), так как каждый из них вносит дополнительный множитель 5.

1. Числа, кратные 5 в диапазоне от 41 до 64: Это числа 45, 50, 55 и 60. Их всего 4.

2. Числа, кратные 25 (каждое из них добавляет дополнительный множитель 5): В этом диапазоне есть только одно такое число — 50.

Итак, общее количество множителей 5 можно посчитать как:

Шаг 2: Определение факторов 2

Хотя нас интересуют только множители 5, чтобы найти количество нулей в произведении, полезно убедиться, что факторов 2 в произведении достаточно, чтобы сформировать пары с каждым множителем 5. В диапазоне от 41 до 64 таких чисел, делящихся на 2, явно больше, чем чисел, делящихся на 5. Таким образом, факторов 2 достаточно для каждой пятёрки.

Ответ

Произведение всех чисел от 41 до 64 будет оканчиваться 5 нулями, поскольку оно содержит ровно 5 пар множителей 2 и 5.