1. Упростите выражение: а) 5а(2 – а) + 6а(а – 7); б) (b – 3)(b – 4) – (b + 4)²; в) 20х + 5(х – 2)². 2. Разложите на множители: а) 25у – у³; б) –4х² + 8ху – 4у². 3. Упростите выражение: (3х + х²)² – х²(х – 5)(х + 5) + 2х(8 – 3х²). 4. Разложите на множители: а) (пропущено выражение); б) а² – х² + 4х – 4. 5. Докажите, что выражение –у² + 2у – 5 при любых значениях у принимает отрицательные значения.

Разберём все задания подробно, шаг за шагом.

1. Упростите выражение

а) 5а(2 – а) + 6а(а – 7)

Раскрываем скобки:

• $5а(2 – а) = 10а – 5а²$

• $6а(а – 7) = 6а² – 42а$

Складываем подобные члены:

Ответ: $а² – 32а$

б) (b – 3)(b – 4) – (b + 4)²

Раскрываем скобки:

• $(b – 3)(b – 4) = b² – 4b – 3b + 12 = b² – 7b + 12$

• $(b + 4)² = b² + 8b + 16$

Вычитаем второе выражение:

Ответ: $-15b – 4$

в) 20х + 5(х – 2)²

Раскрываем скобки:

$(х – 2)² = x² – 4x + 4$

Умножаем на 5:

Складываем с 20x:

Ответ: $5x² + 20$

2. Разложите на множители

а) 25у – у³

Вынесем общий множитель $у$:

Заметим, что $25 – у² = (5 – у)(5 + у)$

Ответ: $у(5 – у)(5 + у)$

б) –4х² + 8ху – 4у²

Вынесем $-4$:

Ответ: $-4(x – y)²$

3. Упростите выражение

$(3х + х²)² – х²(х – 5)(х + 5) + 2х(8 – 3х²)$

Шаг 1. Раскроем скобки

$(3x + x²)² = x^4 + 6x³ + 9x²$
$(x – 5)(x + 5) = x² – 25$ → $x²(x² – 25) = x^4 – 25x²$
$2x(8 – 3x²) = 16x – 6x³$

Шаг 2. Подставим и объединим подобные

Складываем:

• $x^4 – x^4 = 0$

• $6x^3 – 6x^3 = 0$

• $9x^2 + 2$