Докажите, что выражение \( x^2 - 4x + 9 \) при любых значениях \( x \) принимает положительное значение.

Рассмотрим два стандартных пути.

1. Завершение квадрата:
   $x^2-4x+9=(x^2-4x+4)+5=(x-2)^2+5$.
   Квадрат $(x-2)^2$ неотрицателен для любого $x$, минимальное его значение равно $0$ (достигается при $x=2$). Следовательно,

для всех $x$. Значит, выражение всегда положительно.

2. Через дискриминант:
   Это квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ с $a=1>0$. Его дискриминант

При $a>0$ и $D<0$ парабола не пересекает ось $x$ и лежит строго выше её, то есть значение трёхчлена положительно для всех $x$.

Итог: $x^2-4x+9=(x-2)^2+5>0$ при любых действительных $x$, причём наименьшее значение равно $5$ и достигается при $x=2$.