Решить уравнение: 2(2n + 1)² - 8(n + 1)(n - 1) = 42. Докажите, что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения: (b - 3)² + 1; 50 - 14m + m².

Решение уравнения:

Дано уравнение:

1. Начнем с раскрытия скобок и упрощения выражений.

   Раскроем квадрат $(2n + 1)^2$:

   $$(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$$

   Подставим это в исходное уравнение:

   $$2(4n^2 + 4n + 1) - 8(n + 1)(n - 1) = 42$$

   Умножим:

   $$8n^2 + 8n + 2 - 8(n + 1)(n - 1) = 42$$

2. Теперь раскроем скобки в $(n + 1)(n - 1)$, используя формулу разности квадратов:

   $$(n + 1)(n - 1) = n^2 - 1$$

   Подставляем это в уравнение:

   $$8n^2 + 8n + 2 - 8(n^2 - 1) = 42$$

3. Упростим выражение:

   $$8n^2 + 8n + 2 - 8n^2 + 8 = 42$$

4. Сократим $8n^2$ и получим:

   $$8n + 10 = 42$$

5. Переносим 10 на правую сторону:

   $$8n = 32$$

6. Разделим обе части на 8:

   $$n = 4$$

Таким образом, решение уравнения: $n = 4$.

Доказательство положительности многочленов:

Теперь доказуем, что два выражения всегда принимают только положительные значения.

1. $(b - 3)^2 + 1$

Это выражение представляет собой квадрат числа $(b - 3)$, к которому прибавляется 1. Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то $(b - 3)^2 \geq 0$ для любого $b$. Следовательно, выражение $(b - 3)^2 + 1$ всегда больше или равно 1. Таким образом:

Это доказывает, что $(b - 3)^2 + 1$ всегда принимает только положительные значения, так как минимальное значение этого выражения равно 1, а большее возможно при $b \neq 3$.

2. $50 - 14m + m^2$

Перепишем это выражение в виде квадратичной функции от $m$:

Чтобы доказать, что оно всегда положительно, найдем его дискриминант:

Дискриминант отрицателен, что означает, что квадратичная функция не имеет действительных корней. Парабола, соответствующая этому многочлену, открывается вверх, так как коэффициент при $m^2$ положителен. Поскольку дискриминант отрицателен, парабола не пересекает ось $m$, и ее минимальное значение будет больше нуля. Вычислим это минимальное значение, подставив $m = -\frac{-14}{2 \cdot 1} = 7$ (вершина параболы):

Таким образом, минимальное значение выражения $50 - 14m + m^2$ равно 1, и оно всегда больше или равно 1, то есть всегда положительно.

Следовательно, оба многочлена при любых значениях переменных $b$ и $m$ всегда принимают только положительные значения.