Найдите наибольшее число, при делении которого на 11 в остатке получится то же число, что и в неполном частном.

Пусть искомое число равно $N$.

При делении числа $N$ на 11 получается неполное частное и остаток. Обозначим неполное частное через $q$. По условию остаток равен тому же числу, что и неполное частное, значит остаток тоже равен $q$.

Тогда число можно записать так:

Но остаток при делении на 11 обязательно должен быть меньше 11. Значит,

Чтобы число $N$ было наибольшим, нужно взять наибольшее возможное значение $q$, то есть:

Тогда:

Проверим:

Неполное частное равно 10, остаток тоже равен 10. Условие выполняется.

Ответ: 120.