Найдите какое-нибудь число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, при делении на 3 даёт в остатке 2, при делении на 4 даёт в остатке 3 и при делении на 5 даёт в остатке 4. Указание: если это число увеличить на 1, то полученное число будет кратно числам 2, 3, 4 и 5.

Для решения задачи используем систему сравнений с остатками.

Нам нужно найти такое число $x$, которое при делении:

• на 2 дает остаток 1,

• на 3 дает остаток 2,

• на 4 дает остаток 3,

• на 5 дает остаток 4.

Это можно записать в виде системы сравнений:

Как видим, все остатки на 2, 3, 4 и 5 уменьшаются на 1. Это означает, что если мы увеличим $x$ на 1, то полученное число $x + 1$ будет делиться на 2, 3, 4 и 5. То есть $x + 1$ должно быть кратно наименьшему общему кратному чисел 2, 3, 4 и 5.

Найдем наименьшее общее кратное этих чисел. Для этого разложим их на простые множители:

• 2 = $2$

• 3 = $3$

• 4 = $2^2$

• 5 = $5$

Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел будет равно $2^2 \times 3 \times 5 = 60$.

Значит, $x + 1 = 60$, или $x = 60 - 1 = 59$.

Теперь проверим, что число 59 удовлетворяет всем условиям задачи:

• $59 \div 2 = 29$ (остаток 1),

• $59 \div 3 = 19$ (остаток 2),

• $59 \div 4 = 14$ (остаток 3),

• $59 \div 5 = 11$ (остаток 4).

Все условия выполнены, значит, искомое число — это 59.