Решить уравнение \(2\sin^2x + 7\sin x + 3 = 0\).

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Уравнение:

1. Подстановка:
   Обозначим $y = \sin x$. Тогда уравнение примет вид:

2. Решение квадратного уравнения:
   Используем формулу квадратного уравнения:

Здесь $a = 2$, $b = 7$, $c = 3$.

Считаем дискриминант:

Теперь находим корни:

• Первый корень: $\displaystyle y_1 = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

• Второй корень: $\displaystyle y_2 = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

3. Отбрасываем недопустимые значения:
   Так как $\sin x$ всегда лежит в пределах $[-1, 1]$, корень $y_2 = -3$ невозможен.

Остается $y = -\frac{1}{2}$.

4. Решение тригонометрического уравнения:

Синус равен $-\frac{1}{2}$ в третьей и четвертой четвертях:

Итоговое решение: