В одной и той же системе координат постройте графики функций y=1/х , y=1/x+2 , y=1/x-2

Чтобы построить графики функций $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{x} + 2$ и $y = \frac{1}{x} - 2$ в одной системе координат, следуйте следующему пошаговому процессу:

Шаг 1: Понимание функций

1. Функция $y = \frac{1}{x}$:

   • Эта функция определена для всех $x$, кроме нуля.
   • Имеет вертикальную асимптоту при $x = 0$ и горизонтальную асимптоту при $y = 0$.
   • График имеет две ветви: одна в первой четверти, другая в третьей.

2. Функция $y = \frac{1}{x} + 2$:

   • Это смещенная версия первой функции вверх на 2 единицы.
   • Вертикальная асимптотa остаётся при $x = 0$, а горизонтальная асимптотa теперь будет при $y = 2$.
   • Ветви графика будут находиться выше линии $y = 2$.

3. Функция $y = \frac{1}{x} - 2$:

   • Это также смещенная версия первой функции, но вниз на 2 единицы.
   • Вертикальная асимптотa остаётся при $x = 0$, а горизонтальная асимптотa будет при $y = -2$.
   • Ветви графика будут находиться ниже линии $y = -2$.

Шаг 2: Построение графиков

1. Ось координат:

   • Начните с построения оси $x$ и оси $y$.
   • Обозначьте точки пересечения осей и отметьте важные значения, такие как асимптоты.

2. График $y = \frac{1}{x}$:

   • Для $x > 0$, выбирайте значения, например, $x = 1$, $x = 2$, $x = 3$:
     • $y = 1, 0.5, 0.333$
   • Для $x < 0$, выбирайте значения, например, $x = -1$, $x = -2$, $x = -3$:
     • $y = -1, -0.5, -0.333$

3. График $y = \frac{1}{x} + 2$:

   • Используйте те же значения $x$, добавляя 2 к результатам:
     • При $x = 1$, $y = 3$; $x = 2$, $y = 2.5$; $x = 3$, $y = 2.333$
     • Для отрицательных $x$: $x = -1$, $y = 1$; $x = -2$, $y = 1.5$; $x = -3$, $y = 1.667$

4. График $y = \frac{1}{x} - 2$:

   • Снова используйте те же значения $x$, вычитая 2 из результатов:
     • При $x = 1$, $y = -1$; $x = 2$, $y = -1.5$; $x = 3$, $y = -1.667$
     • Для отрицательных $x$: $x = -1$, $y = -3$; $x = -2$, $y = -2.5$; $x = -3$, $y = -2.333$

Шаг 3: Нанесение графиков на координатную плоскость

• Нанесите полученные точки на график и соедините их плавной линией, соблюдая асимптоты.
• Убедитесь, что:
  • Ветви графиков функции $y = \frac{1}{x}$ находятся в первых и третьих квадрантах.
  • Ветви функции $y = \frac{1}{x} + 2$ находятся в первых и третьих квадрантах, но выше уровня $y = 2$.
  • Ветви функции $y = \frac{1}{x} - 2$ находятся в первых и третьих квадрантах, но ниже уровня $y = -2$.

Результат

После выполнения этих шагов вы получите три графика, которые визуально будут показывать, как изменение постоянной сдвигает график функции вверх или вниз, сохраняя форму гиперболы. Обратите внимание на асимптоты и поведение функций в различных областях.