Решить уравнение 6x⁴ + x² - 1 = 0

Давайте разберём уравнение шаг за шагом.

Имеем:

Это уравнение четвертой степени, но заметим, что оно сводится к квадратному относительно $x^2$. Сделаем замену:

Теперь решаем квадратное уравнение относительно $y$ по формуле:

где $a = 6$, $b = 1$, $c = -1$. Подставим:

Два варианта:

1. $\displaystyle y = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

2. $\displaystyle y = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Возвращаемся к $x^2 = y$:

1. $x^2 = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

2. $x^2 = -\frac{1}{2}$ — здесь нет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Итог:

Это все действительные решения уравнения.