Сколько целых чисел от 438 до 2122 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

Нужно посчитать целые числа от 438 до 2122 включительно, у которых сумма цифр делится на 5.

Удобно считать не напрямую, а через остатки суммы цифр по модулю 5.

Нужно найти количество чисел $n$, для которых:

и сумма цифр числа $n$ делится на 5.

То есть сумма цифр должна давать остаток 0 при делении на 5.

Разобьём промежуток на части:

1. Числа от 438 до 999

Сначала посчитаем от 000 до 999. Для трёхзначной записи с ведущими нулями всего $1000$ чисел: от 000 до 999.

Остатки суммы цифр по модулю 5 распределяются поровну, потому что каждая цифра даёт остатки равномерно. Значит, для каждого остатка будет:

То есть среди чисел от 000 до 999 ровно 200 чисел имеют сумму цифр, делящуюся на 5.

Теперь нужно убрать числа от 000 до 437.

Посчитаем количество подходящих чисел от 000 до 437.

От 000 до 399

Это 400 чисел. Первая цифра от 0 до 3, две последние от 00 до 99.

Для каждой фиксированной первой цифры среди 100 вариантов двух последних цифр каждый остаток суммы цифр встречается поровну:

Таких первых цифр 4, значит:

Подходящих чисел от 000 до 399 — 80.

От 400 до 437

У этих чисел первая цифра 4. Нужно, чтобы сумма цифр делилась на 5.

Пусть число имеет вид $4ab$. Тогда сумма цифр:

Нужно:

значит:

Теперь числа от 400 до 437 — это:

То есть $a$ может быть 0, 1, 2, 3, а при $a=3$ цифра $b$ идёт только от 0 до 7.

Посчитаем:

• $a=0$: нужно $b \equiv 1 \pmod 5$, подходят $b=1,6$ — 2 числа.

• $a=1$: нужно $b \equiv 0 \pmod 5$, подходят $b=0,5$ — 2 числа.

• $a=2$: нужно $b \equiv 4 \pmod 5$, подходят $b=4,9$ — 2 числа.

• $a=3$: нужно $b \equiv 3 \pmod 5$, но $b$ от 0 до 7, подходят $b=3$ — 1 число.

Итого от 400 до 437:

Значит, от 000 до 437 подходящих чисел:

Тогда от 438 до 999:

2. Числа от 1000 до 1999

Число имеет вид $1abc$. Сумма цифр:

Последние три цифры пробегают все значения от 000 до 999. Среди них каждый остаток суммы цифр по модулю 5 встречается ровно 200 раз.

Поэтому чисел от 1000 до 1999 с нужным свойством тоже:

3. Числа от 2000 до 2122

Здесь считаем вручную.

Числа от 2000 до 2122.

От 2000 до 2099

Число имеет вид $20ab$. Сумма цифр:

Нужно:

то есть:

Последние две цифры от 00 до 99 дают 100 вариантов, и каждый остаток суммы цифр по модулю 5 встречается поровну:

Значит, от 2000 до 2099 подходит 20 чисел.

От 2100 до 2122

Число имеет вид $21ab$. Сумма цифр:

Нужно:

значит:

Числа от 2100 до 2122:

То есть $a=0,1,2$, но при $a=2$ цифра $b$ идёт только от 0 до 2.

Считаем:

• $a=0$: нужно $b \equiv 2 \pmod 5$, подходят $b=2,7$ — 2 числа.

• $a=1$: нужно $b \equiv 1 \pmod 5$, подходят $b=1,6$ — 2 числа.

• $a=2$: нужно $b \equiv 0 \pmod 5$, но $b$ от 0 до 2, подходит только