cos(π/2 + 2x) - cos2x + 1 = 0

Решим уравнение:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) - \cos 2x + 1 = 0 \]

Используем формулу приведения: \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha\). Тогда \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = -\sin 2x\).

Подставляем:

\[ -\sin 2x - \cos 2x + 1 = 0 \]

Умножим на –1:

\[ \sin 2x + \cos 2x = 1 \]

Применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части на \(\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\):

\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Заметим, что \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4}\). Тогда:

\[ \sin 2x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

По формуле синуса суммы: \(\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

\[ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 2x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Из первого: \(2x = 2\pi k \Rightarrow x = \pi k\).

Из второго: \(2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k\).

Ответ: \(x = \pi k,\; x = \frac{\pi}{4} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}\).

0 0 Пожаловаться