Доказать тождества: 1) 1 - tg^2 x = (cos2x) / (cos^2 x) 2) ctg^2 x - 1 = (cos2x) / (sin^2 x)

1) Доказать, что $1-\tan^{2}x=\dfrac{\cos 2x}{\cos^{2}x}$

Шаг 1. Записываем $\tan x$ через синус и косинус:

Шаг 2. Вычитаем $\tan^{2}x$ из 1, приводя к общему знаменателю $\cos^{2}x$:

Шаг 3. В числителе появилась разность квадратов синуса и косинуса, а это по определению косинус двойного угла:

Шаг 4. Подставляем вместо числителя $\cos 2x$:

Тождество доказано для всех $x$, где $\cos x\neq 0$ (чтобы знаменатель не обращался в ноль).

2) Доказать, что $\cot^{2}x-1=\dfrac{\cos 2x}{\sin^{2}x}$

Шаг 1. Аналогично выразим котангенс:

Шаг 2. Вычитаем 1, приводя к общему знаменателю $\sin^{2}x$:

Шаг 3. Снова используем формулу двойного угла:

Шаг 4. Подставляем полученное выражение:

Тождество доказано для всех $x$, где $\sin x\neq 0$.

Итог. Оба выражения сводятся к одной и той же разности $\cos^{2}x-\sin^{2}x$, что и обеспечивает полученные равенства.