Дифференцируема ли функция y = |x-2| в точке х=2?
Подробное решение, пожалуйста

Функция \(y = |x-2|\) не дифференцируема в точке \(x=2\)

Подробное решение:

По определению, функция дифференцируема в точке, если существует конечный предел \(\lim_{h\to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)

Рассмотрим левосторонний и правосторонний пределы.

При \(h < 0\) (слева от 2): \(2+h < 2\), поэтому \(|(2+h)-2| = |h| = -h\). Тогда \(f(2+h) = -h\), \(f(2)=0\).
Левосторонний предел: \(\lim_{h\to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-h}{h} = -1\)

При \(h > 0\) (справа от 2): \(2+h > 2\), поэтому \(|(2+h)-2| = |h| = h\). Тогда \(f(2+h) = h\).
Правосторонний предел: \(\lim_{h\to 0^+} \frac{h - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h}{h} = 1\)

Левый и правый пределы различны (\(-1 \neq 1\)), поэтому двусторонний предел не существует. Следовательно, производная в точке \(x=2\) не определена, и функция не дифференцируема в этой точке.

Геометрически это означает, что в точке \(x=2\) график имеет излом, и касательную провести нельзя.

0 0 Пожаловаться