В классе 30 учеников. Возможно ли, чтобы 9 из них имели по 3 друга в этом классе, 11 — по 4, а 10 — по 5 друзей?

Нет, невозможно.

Если считать дружбу в классе обычным симметричным отношением, то это соответствует неориентированному графу: каждому ученику соответствует вершина, а каждой дружбе — ребро. Тогда сумма степеней всех вершин должна быть чётной, потому что каждое ребро даёт вклад 2 в сумму степеней (по 1 к каждому из двух учеников).

Посчитаем сумму степеней:

• 9 учеников по 3 друга: $9 \cdot 3 = 27$

• 11 учеников по 4 друга: $11 \cdot 4 = 44$

• 10 учеников по 5 друзей: $10 \cdot 5 = 50$

Итого:

А 121 — нечётное число.
Но сумма степеней в любом таком классе должна быть чётной. Значит, такое распределение друзей не может существовать.