В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников. Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта

Рассмотрим задачу поэтапно, используя теорию множеств и диаграмму Венна.

Обозначения:

• $A$: ученики, которые пользуются метро.
• $B$: ученики, которые пользуются автобусом.
• $C$: ученики, которые пользуются троллейбусом.

Дано:

1. Всего учеников: $|A \cup B \cup C| = 35$.
2. Всеми тремя видами транспорта пользуются $|A \cap B \cap C| = 6$.
3. Метро и автобусом пользуются $|A \cap B| = 15$.
4. Метро и троллейбусом пользуются $|A \cap C| = 13$.
5. Троллейбусом и автобусом пользуются $|B \cap C| = 9$.

Необходимо найти количество учеников, которые пользуются только одним видом транспорта.

Шаг 1: Определим количество учеников, пользующихся всеми тремя видами транспорта

Число $|A \cap B \cap C| = 6$ нам дано. Эти ученики учтены во всех пересечениях, поэтому их нужно вычесть при дальнейшем анализе.

Шаг 2: Найдем количество учеников, пользующихся только двумя видами транспорта

Для каждого пересечения двух видов транспорта ($A \cap B$, $A \cap C$, $B \cap C$), нужно вычесть тех, кто пользуется всеми тремя видами:

1. Только метро и автобусом:

   $$|(A \cap B) \setminus C| = |A \cap B| - |A \cap B \cap C| = 15 - 6 = 9.$$

2. Только метро и троллейбусом:

   $$|(A \cap C) \setminus B| = |A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 13 - 6 = 7.$$

3. Только троллейбусом и автобусом:

   $$|(B \cap C) \setminus A| = |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 9 - 6 = 3.$$

Шаг 3: Найдем количество учеников, пользующихся только одним видом транспорта

Теперь вычислим количество учеников, которые пользуются только одним видом транспорта. Для этого из общего числа пользователей конкретного вида транспорта нужно вычесть тех, кто пользуется двумя и тремя видами:

1. Только метро:
   Все ученики, пользующиеся метро ($|A|$), включают:

   • только метро,
   • метро и автобус,
   • метро и троллейбус,
   • метро, автобус и троллейбус.

   Пусть $|A|$ — общее количество пользователей метро. Тогда:

   $$|A| = |A \cap B| + |A \cap C| - |A \cap B \cap C| + \text{(только метро)}.$$

   Но общее количество пользователей транспорта пока неизвестно, поэтому делаем разложение в явном виде.
   $|A| = x, y = \text{только метро}.$

Шаг пера: Не затушуй