Контрольные вопросы: 1. Почему функция, обратная функции y = sin x, рассматривается только на отрезке [-π/2; π/2]?

Функция, обратная к $y=\sin x$, то есть $y=\arcsin x$, рассматривается через ограничение синуса на отрезке $[-\pi/2;\,\pi/2]$, потому что на всей числовой прямой функция $\sin x$ не имеет обратной функции.

Главная причина в том, что обратная функция существует только тогда, когда исходная функция каждому значению $y$ сопоставляет ровно одно значение $x$. А синус на всей области определения периодичен: одно и то же значение он принимает бесконечно много раз.

Например:

То есть одному значению $y=0$ соответствуют разные значения $x$. Поэтому нельзя однозначно сказать, чему равен обратный синус числа $0$, если не ограничить область.

Чтобы обратная функция была однозначной, выбирают такой промежуток, на котором $\sin x$:

1. принимает все значения от $-1$ до $1$;

2. является строго возрастающей;

3. каждому значению $y$ соответствует только одно значение $x$.

Именно таким промежутком является:

На этом отрезке синус возрастает от $-1$ до $1$:

Поэтому на отрезке $[-\pi/2;\,\pi/2]$ функция $y=\sin x$ становится обратимой. В результате для функции $y=\arcsin x$ область значений выбирается именно такой:

Итак, обратную функцию к синусу рассматривают только на отрезке $[-\pi/2;\,\pi/2]$, потому что именно там синус является строго монотонным и принимает все значения от $-1$ до $1$, а значит, для него можно однозначно определить обратную функцию.