В шар радиуса R вписан конус, у которого образующая составляет с плоскостью основания угол φ. 1)

Ответы на вопрос

Отвечает Овечко Андрей.

A = \pi r(r + l)

Пусть в шар радиуса $R$ вписан конус. Обозначим:

$r$ — радиус основания конуса;
$h$ — высота конуса;
$l$ — образующая конуса.

Нужно найти площадь боковой поверхности:

S_{\text{бок}}=\pi r l

Из условия известно, что образующая составляет с плоскостью основания угол $\varphi$ . Рассмотрим осевое сечение конуса. Получаем прямоугольный треугольник, в котором:

\sin\varphi=\frac{h}{l}, \qquad \cos\varphi=\frac{r}{l}

откуда

r=l\cos\varphi,\qquad h=l\sin\varphi

Так как конус вписан в шар, его вершина и окружность основания лежат на сфере. Пусть центр шара находится на оси конуса. Тогда радиус шара выражается через $h$ и $r$ :

R=\frac{h^2+r^2}{2h}

Подставим найденные выражения через $l$ :

R=\frac{l^2\sin^2\varphi+l^2\cos^2\varphi}{2l\sin\varphi}

Так как

\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1,

получаем:

R=\frac{l^2}{2l\sin\varphi}

R=\frac{l}{2\sin\varphi}

Следовательно,

l=2R\sin\varphi

Тогда радиус основания:

r=l\cos\varphi=2R\sin\varphi\cos\varphi

Теперь найдём боковую поверхность:

S_{\text{бок}}=\pi r l

Подставляем $r$ и $l$ :

S_{\text{бок}}=\pi(2R\sin\varphi\cos\varphi)(2R\sin\varphi)

S_{\text{бок}}=4\pi R^2\sin^2\varphi\cos\varphi

Итак, площадь боковой поверхности конуса равна:

\boxed{S_{\text{бок}}=4\pi R^2\sin^2\varphi\cos\varphi}

В шар радиуса R вписан конус, у которого образующая составляет с плоскостью основания угол φ. 1) Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика