1) Какую фигуру получим при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны? 2) Чтобы получить конус, какую фигуру и как надо вращать? 3) Назовите виды сечений конуса плоскостями. 4) Для любого сечения какого тела можно построить равное ему сечение, не совпадающее с данным? 5) Какие формулы для вычисления площади треугольника вы знаете? 6) Чему равен синус и косинус 30, 60, 90 градусов? 7) Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 7, а угол при основании равен 45 градусов, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника.

При вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, получается усечённый конус. Основания трапеции становятся радиусами его оснований, а эта боковая сторона — высотой усечённого конуса.

Чтобы получить конус, нужно вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов. Этот катет будет высотой конуса, второй катет — радиусом основания, а гипотенуза — образующей.

Сечения конечного конуса плоскостями:

• плоскость, параллельная основанию, даёт круг;

• плоскость, проходящая через вершину, даёт треугольник;

• плоскость, не проходящая через вершину и не параллельная основанию, даёт эллипс.

Для двойного неограниченного конуса также рассматривают конические сечения: окружность, эллипс, параболу и гиперболу.

Равное, но не совпадающее с данным, сечение можно построить у цилиндра. Например, сечения параллельными плоскостями будут равны; у цилиндра также используются его осевая и вращательная симметрии.

Основные формулы площади треугольника:

[
S=\frac12 ah,
]

где (a) — сторона, (h) — высота, проведённая к этой стороне;

[
S=\frac12 ab\sin\gamma,
]

где (a) и (b) — две стороны, (\gamma) — угол между ними;

[
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},
]

формула Герона, где

[
p=\frac{a+b+c}{2};
]

[
S=pr,
]

где (r) — радиус вписанной окружности;

[
S=\frac{abc}{4R},
]

где (R) — радиус описанной окружности.

Для равностороннего треугольника:

[
S=\frac{a^2\sqrt3}{4}.
]

Значения синуса и косинуса:

[
\sin30^\circ=\frac12,\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2};
]

[
\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos60^\circ=\frac12;
]

[
\sin90^\circ=1,\qquad \cos90^\circ=0.
]

Пусть (ABC) — равнобедренный треугольник, где (AC=BC=7), а углы при основании равны (45^\circ).

Тогда угол при вершине:

[
\angle C=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.
]

Значит, основание (AB) является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника:

[
AB=7\sqrt2.
]

При вращении вокруг основания (AB) получается тело из двух одинаковых конусов с общим основанием. Радиус их общего основания равен высоте (CH), проведённой к гипотенузе:

[
CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}
=\frac{7\cdot7}{7\sqrt2}
=\frac{7\sqrt2}{2}.
]

Образующая каждого конуса равна (7). Площадь боковой поверхности одного конуса:

[
S_1=\pi rl
=\pi\cdot\frac{7\sqrt2}{2}\cdot7
=\frac{49\sqrt2\pi}{2}.
]

У тела два таких конуса, поэтому:

[
S=2S_1=49\sqrt2\pi.
]

Ответ:

[
\boxed{49\sqrt2\pi}
]

квадратных единиц.