Многоугольник. Урок 2. На рисунке показан пятиугольник ABCDE, в котором проведены диагонали. Сколько существует невыпуклых пятиугольников с двумя вершинами данного пятиугольника ABCDE, если можно использовать только линии его сторон и диагоналей?

Рассмотрим пятиугольник ABCDE с проведёнными всеми диагоналями. При пересечении диагоналей появляются дополнительные точки, которые тоже могут быть вершинами новых пятиугольников, так как разрешено использовать линии сторон и диагоналей.

Чтобы получить невыпуклый пятиугольник, две вершины должны быть обычными вершинами исходного пятиугольника, а остальные три — точками пересечения диагоналей. Перебираем возможные варианты:

• Берём одну сторону исходного пятиугольника и две соседние с ней вершины — тогда из точек пересечения диагоналей можно составить один невыпуклый пятиугольник.

• Так как у пятиугольника пять сторон и все они равноправны, такая фигура получится около каждой из пяти сторон.

Других вариантов нет: если выбрать другие две вершины исходного пятиугольника, то либо получится выпуклый пятиугольник, либо фигура не замкнётся по линиям сторон и диагоналей.

Следовательно, число невыпуклых пятиугольников равно числу сторон исходного пятиугольника:

Ответ: 5 невыпуклых пятиугольников.