Задача 10. «Весёлые старты». Сколькими способами можно разделить 6 человек на 2 равные команды? А 9 человек на 3 команды?
Задача 3. Есть кубики 4 цветов. Сколько разных 2-этажных домов можно из них построить? А трёхэтажных домов с разноцветными этажами? А если бы было 100 разных цветов?

Задача 10. «Весёлые старты»

1. Разделить 6 человек на 2 равные команды

В каждой команде должно быть по 3 человека.

Сначала выберем 3 человек для первой команды:

Оставшиеся 3 человека автоматически образуют вторую команду. Однако при таком подсчёте каждое разделение учитывается дважды: например, команды «А и Б» и «Б и А» — это одно и то же разделение.

Поэтому:

Ответ: 10 способов.

2. Разделить 9 человек на 3 команды

В каждой команде должно быть по 3 человека.

Выберем сначала 3 человека из 9:

Затем выберем 3 человека из оставшихся 6:

Оставшиеся 3 человека составят третью команду. Получаем:

Но порядок команд не имеет значения. Каждое разделение было посчитано $3!=6$ раз, поэтому:

Ответ: 280 способов.

Задача 3. Дома из цветных кубиков

1. Двухэтажные дома из кубиков четырёх цветов

Цвет первого этажа можно выбрать четырьмя способами. Для второго этажа также есть четыре варианта. Цвета могут повторяться:

Например, дом с красным первым этажом и синим вторым отличается от дома с синим первым этажом и красным вторым.

Ответ: 16 разных двухэтажных домов.

2. Трёхэтажные дома с разноцветными этажами

Для первого этажа есть 4 варианта цвета. Для второго этажа остаётся 3 цвета, а для третьего — 2:

Ответ: 24 разных трёхэтажных дома.

3. Если имеется 100 разных цветов

Для двухэтажных домов, если цвета могут повторяться:

Для трёхэтажных домов с разноцветными этажами:

Ответ: 10 000 двухэтажных домов и 970 200 трёхэтажных домов с разноцветными этажами.