Существуют ли на плоскости три точки А, В и С, такие, что:
А) АС = 15 см, АВ = 8 см, ВС = 7 см.
Б) АС = 8 см, АВ = 25 см, ВС = 40 см.
В) АС = 14 см, АВ = 30 см, ВС = 40 см?

Для того чтобы проверить существование треугольника с заданными длинами сторон, нужно воспользоваться неравенством треугольника. Это фундаментальное свойство, которое гласит: в треугольнике сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Проверим каждую из ситуаций:

А) АС = 15 см, АВ = 8 см, ВС = 7 см

Неравенства треугольника:

1. $АС + АВ > ВС$: $15 + 8 = 23 > 7$ — выполняется.
2. $АС + ВС > АВ$: $15 + 7 = 22 > 8$ — выполняется.
3. $АВ + ВС > АС$: $8 + 7 = 15 \not> 15$ — не выполняется.

Вывод: Треугольник с такими сторонами не существует, так как одно из неравенств треугольника нарушено.

Б) АС = 8 см, АВ = 25 см, ВС = 40 см

Неравенства треугольника:

1. $АС + АВ > ВС$: $8 + 25 = 33 \not> 40$ — не выполняется.
2. $АС + ВС > АВ$: $8 + 40 = 48 > 25$ — выполняется.
3. $АВ + ВС > АС$: $25 + 40 = 65 > 8$ — выполняется.

Вывод: Треугольник с такими сторонами не существует, так как первое неравенство треугольника нарушено.

В) АС = 14 см, АВ = 30 см, ВС = 40 см

Неравенства треугольника:

1. $АС + АВ > ВС$: $14 + 30 = 44 > 40$ — выполняется.
2. $АС + ВС > АВ$: $14 + 40 = 54 > 30$ — выполняется.
3. $АВ + ВС > АС$: $30 + 40 = 70 > 14$ — выполняется.

Вывод: Все неравенства треугольника выполняются, значит, треугольник с такими сторонами существует.

Общий итог:

• А) Не существует.
• Б) Не существует.
• В) Существует.