Изобразите на координатной плоскости точки A (2;4), B (5;1), C (0;-4), K (-3;-1). Соединив точки на чертеже, построй четырёхугольник ABCK. Найди координаты точки пересечения отрезков AC и BK.

Решение:

1. Построение точек на координатной плоскости

Давайте разместим точки на координатной плоскости:

• Точка $A(2;4)$: расположена во второй четверти, так как $x = 2 > 0$ и $y = 4 > 0$.
• Точка $B(5;1)$: в первой четверти, так как $x = 5 > 0$ и $y = 1 > 0$.
• Точка $C(0;-4)$: находится на оси $y$ (точнее, ниже начала координат), так как $x = 0$ и $y = -4 < 0$.
• Точка $K(-3;-1)$: в третьей четверти, так как $x = -3 < 0$ и $y = -1 < 0$.

2. Соединение точек для построения четырёхугольника

Соединяем точки $A$, $B$, $C$ и $K$ отрезками:

• $A \to B$,
• $B \to K$,
• $K \to C$,
• $C \to A$.

Получаем четырёхугольник $ABCK$.

3. Поиск точек пересечения отрезков $AC$ и $BK$

Для нахождения точки пересечения двух отрезков необходимо решить систему уравнений их прямых.

3.1. Уравнение прямой $AC$

Две точки $A(2;4)$ и $C(0;-4)$:

• Формула прямой через две точки: $$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$ Подставляем координаты $A(2;4)$ и $C(0;-4)$: $$y - 4 = \frac{-4 - 4}{0 - 2}(x - 2)$$ $$y - 4 = \frac{-8}{-2}(x - 2)$$ $$y - 4 = 4(x - 2)$$ $$y = 4x - 8 + 4$$ $$y = 4x - 4$$ Уравнение прямой $AC$: $y = 4x - 4$.

3.2. Уравнение прямой $BK$

Две точки $B(5;1)$ и $K(-3;-1)$:

• Формула прямой: $$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$ Подставляем координаты $B(5;1)$ и $K(-3;-1)$: $$y - 1 = \frac{-1 - 1}{-3 - 5}(x - 5)$$ $$y - 1 = \frac{-2}{-8}(x - 5)$$ $$y - 1 = \frac{1}{4}(x - 5)$$ $$y - 1 = \frac{1}{4}x - \frac{5}{4}$$ $$y = \frac{1}{4}x - \frac{5}{4} + 1$$ $$y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$$