Как вывести формулу радиуса описанной окружности у равнобедренного треугольника? R = а√3/3

Формула $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ получается не для любого равнобедренного треугольника, а для равностороннего треугольника (это частный случай равнобедренного), где все стороны равны $a$.

Вывод:

1. Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a$. В равностороннем треугольнике высота одновременно является медианой и проходит через центр описанной окружности.

2. Найдем высоту треугольника по теореме Пифагора. Высота делит сторону пополам, поэтому получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой $a$ и катетом $\frac{a}{2}$:

3. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности делит высоту в отношении $2:1$, считая от вершины. Поэтому радиус описанной окружности равен двум третям высоты:

Подставляем значение высоты:

Сокращаем:

Получаем:

Если треугольник просто равнобедренный (две стороны равны, а третья отличается), то эта формула уже не подходит. Для него радиус описанной окружности находится через стороны и высоту:

где $a,b,c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.