X1, x2, x3, x4, x5 — положительные числа. Какое наименьшее значение может принимать выражение: sqrt[5]{ x1x2x3x4x5} * (1/x1 +1/x2 +1/x3 +1/x4+ 1/x5)

Найдем наименьшее значение выражения

где $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5>0$.

Для решения воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенством Коши).

Для любых пяти положительных чисел справедливо:

Применим это неравенство к числам

Получим:

Умножим обе части неравенства на $5$: