Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3, а длина бокового ребра равна √19. Найдите высоту пирамиды.

Дано:

• Правильная треугольная пирамида.

• Сторона основания $a=3$.

• Боковое ребро $l=\sqrt{19}$.

Найти: высоту пирамиды $h$.

Решение

Поскольку пирамида правильная, её основанием является равносторонний треугольник, а вершина пирамиды находится прямо над центром основания.

Обозначим пирамиду $SABC$, где $ABC$ — основание, $S$ — вершина, $O$ — центр основания.

Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, треугольник $SOA$ — прямоугольный.

1. Найдём расстояние от центра основания до его вершины.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

Подставим $a=3$:

2. Найдём высоту пирамиды по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике $SOA$:

• $SA=\sqrt{19}$ — боковое ребро (гипотенуза);

• $OA=\sqrt{3}$ — радиус описанной окружности основания;

• $SO=h$ — высота пирамиды.

По теореме Пифагора:

Подставим известные значения:

Ответ: