Найдите объём конуса, образующая которого равна 8 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов.

Дано:

• Образующая конуса $l = 8$ см.

• Угол при вершине осевого сечения $\alpha = 60^\circ$.

Найти: объём конуса $V$.

Решение

Объём конуса вычисляется по формуле:

где $r$ — радиус основания конуса, $h$ — его высота.

1. Найдём радиус основания конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса, то есть 8 см.

Высота конуса делит угол при вершине осевого сечения пополам:

Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник. Радиус основания является катетом, лежащим напротив угла $30^\circ$, а образующая — гипотенузой.

Следовательно:

2. Найдём высоту конуса.

Высота является катетом, прилежащим к углу $30^\circ$. Поэтому:

3. Вычислим объём конуса.

Подставим найденные значения в формулу объёма:

Ответ: