Угол при вершине осевого сечения конуса равен 120 градусов. Найдите отношение объема конуса к

Ответы на вопрос

Отвечает Горин Геннадий.

Задача требует нахождения отношения объема конуса к площади его боковой поверхности, при условии, что угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°, а высота конуса $h = 10$ .

Шаг 1: Найдем радиус основания конуса

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°. В осевом сечении конус имеет форму равнобедренного треугольника. Угол при вершине этого треугольника (угол при вершине конуса) — это угол между двумя образующими конуса, которые идут от вершины к краям основания. Этот угол равен 120°.

В осевом сечении радиус основания конуса $r$ , высота $h$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, где угол между высотой и образующей равен $60^\circ$ (половина угла 120°). Таким образом, мы можем использовать тангенс угла для вычисления радиуса:

\tan 60^\circ = \frac{r}{h}

Так как $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ , то:

\sqrt{3} = \frac{r}{10}

Отсюда:

r = 10 \sqrt{3}

Шаг 2: Рассчитаем объем конуса

Объем конуса можно найти по формуле:

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

Подставим значение $r = 10 \sqrt{3}$ и $h = 10$ :

V = \frac{1}{3} \pi (10 \sqrt{3})^2 \cdot 10 = \frac{1}{3} \pi \cdot 300 \cdot 10 = 1000 \pi

Шаг 3: Рассчитаем площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по формуле:

S_{\text{бок}} = \pi r l

Чтобы найти $l$ (образующую), используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $r$ и $h$ :

l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(10 \sqrt{3})^2 + 10^2} = \sqrt{300 + 100} = \sqrt{400} = 20

Теперь можно вычислить площадь боковой поверхности:

S_{\text{бок}} = \pi \cdot (10 \sqrt{3}) \cdot 20 = 200 \pi \sqrt{3}

Шаг 4: Найдем отношение объема к площади боковой поверхности

Теперь, когда у нас есть объем $V = 1000 \pi$ и площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 200 \pi \sqrt{3}$ , мы можем найти требуемое отношение:

\frac{V}{S_{\text{бок}}} = \frac{1000 \pi}{200 \pi \sqrt{3}} = \frac{1000}{200 \sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}

Чтобы привести выражение к более удобному виду, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ :

\frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}

Последние заданные вопросы в категории Математика

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 120 градусов. Найдите отношение объема конуса к площади его боковой поверхности, если высота конуса равна 10.